人教版高一数学必修一知识点（完整）

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　　【导语】仰望天空时，什么都比你高，你会自卑;俯视大地时，什么都比你低，你会自负;只有放宽视野，把天空和大地尽收眼底，才能在苍穹沃土之间找到你真正的位置。无需自卑，不要自负，坚持自信。高一频道为你整理了《2018人教版高一数学必修一知识点》希望你对你的学习有所帮助！

　　【一】

　　第一章集合与函数概念

　　一、集合有关概念

　　1.集合的含义

　　2.集合的中元素的三个特性：

　　（1）元素的确定性如：世界上的山

　　（2）元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合H,A,P,Y

　　（3）元素的无序性:如：a,b,c和a,c,b是表示同一个集合

　　3.集合的表示：…如：我校的篮球队员，太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋

　　（1）用拉丁字母表示集合：A=我校的篮球队员,B=1,2,3,4,5

　　（2）集合的表示方法：列举法与描述法。

　　注意：常用数集及其记法：XKb1.Com

　　非负整数集（即自然数集）记作：N

　　正整数集：N*或N+

　　整数集：Z

　　有理数集：Q

　　实数集：R

　　1）列举法：a,b,c……

　　2描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合xR|x-3>2,x|x-3>2

　　3语言描述法：例：不是直角三角形的三角形

　　4Venn图:

　　4、集合的分类：

　　1有限集含有有限个元素的集合

　　2无限集含有无限个元素的集合

　　3空集不含任何元素的集合例：x|x2=－5｝

　　二、集合间的基本关系

　　1.“包含”关系—子集

　　注意：有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。

　　反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA

　　2．“相等”关系：A=B5≥5，且5≤5，则5=5

　　实例：设A=x|x2-1=0B=-1,1“元素相同则两集合相等”

　　即：①任何一个集合是它本身的子集。AA

　　②真子集:如果AB,且AB那就说集合A是集合B的真子集，记作AB或BA

　　③如果AB,BC,那么AC

　　④如果AB同时BA那么A=B

　　3.不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ

　　规定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

　　4.子集个数：

　　有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集，含有2n-1个非空子集，含有2n-1个非空真子集

　　三、集合的运算

　　运算类型交集并集补集

　　定义由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．记作AB（读作‘A交B’），即AB=｛x|xA，且xB｝．

　　由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集．记作：AB（读作‘A并B’），即AB=x|xA，或xB．

　　设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）

　　记作，即

　　CSA=

　　性质AA=A

　　AΦ=Φ

　　AB=BA

　　ABA

　　ABB

　　AA=A

　　AΦ=A

　　AB=BA

　　ABＡ

　　ABB

　　CuACuB

　　=CuAB

　　CuACuB

　　=CuAB

　　ACuA=U

　　ACuA=Φ．

　　二、函数的有关概念

　　1．函数的概念

　　设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有确定的数fx和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：y=fx，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合fx|x∈A叫做函数的值域．

　　注意：

　　1．定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。

　　求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：

　　1分式的分母不等于零；

　　2偶次方根的被开方数不小于零；

　　3对数式的真数必须大于零；

　　4指数、对数式的底必须大于零且不等于1.

　　5如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.

　　6指数为零底不可以等于零，

　　7实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.

　　相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；

　　②定义域一致两点必须同时具备

　　2．值域:先考虑其定义域

　　1观察法2配方法3代换法

　　3.函数图象知识归纳

　　1定义：

　　在平面直角坐标系中，以函数y=fx,x∈A中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点Px，y的集合C，叫做函数y=fx,x∈A的图象．C上每一点的坐标x，y均满足函数关系y=fx，反过来，以满足y=fx的每一组有序实数对x、y为坐标的点x，y，均在C上.

　　2画法

　　1.描点法：2.图象变换法：常用变换方法有三种：1）平移变换2）伸缩变换3）对称变换

　　4．区间的概念

　　（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间（2）无穷区间（3）区间的数轴表示．

　　5．映射

　　一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射。记作“f（对应关系）：A（原象）B（象）”

　　对于映射f：A→B来说，则应满足：

　　1集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是的；

　　2集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；

　　3不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。

　　6.分段函数

　　1在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。

　　2各部分的自变量的取值情况．

　　3分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集．

　　补充：复合函数

　　如果y=fuu∈M,u=g**∈A,则y=f[gx]=F**∈A称为f、g的复合函数。

　　二．函数的性质

　　1.函数的单调性局部性质

　　（1）增函数

　　设函数y=fx的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1

　　如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1

　　注意：函数的单调性是函数的局部性质；

　　（2）图象的特点

　　如果函数y=fx在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=fx在这一区间上具有严格的单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.

　　3.函数单调区间与单调性的判定方法

　　A定义法：

　　（1）任取x1，x2∈D，且x1

　　（2）作差fx1－fx2；或者做商

　　（3）变形（通常是因式分解和配方）；

　　（4）定号（即判断差fx1－fx2的正负）；

　　（5）下结论（指出函数fx在给定的区间D上的单调性）．

　　B图象法从图象上看升降

　　C复合函数的单调性

　　复合函数f[gx]的单调性与构成它的函数u=gx，y=fu的单调性密切相关，其规律：“同增异减”

　　注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.

　　8．函数的奇偶性（整体性质）

　　（1）偶函数：一般地，对于函数fx的定义域内的任意一个x，都有f－x=fx，那么fx就叫做偶函数．

　　（2）奇函数：一般地，对于函数fx的定义域内的任意一个x，都有f－x=—fx，那么fx就叫做奇函数．

　　（3）具有奇偶性的函数的图象的特征：偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．

　　9.利用定义判断函数奇偶性的步骤：

　　○1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；

　　○2确定f－x与fx的关系；

　　○3作出相应结论：若f－x=fx或f－x－fx=0，则fx是偶函数；若f－x=－fx或f－x＋fx=0，则fx是奇函数．

　　注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，1再根据定义判定;2由f-x±fx=0或fx／f-x=±1来判定;3利用定理，或借助函数的图象判定.

　　10、函数的解析表达式

　　（1）函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.

　　（2）求函数的解析式的主要方法有：1.凑配法2.待定系数法3.换元法4.消参法

　　11．函数（小）值

　　○1利用二次函数的性质（配方法）求函数的（小）值

　　○2利用图象求函数的（小）值

　　○3利用函数单调性的判断函数的（小）值：

　　如果函数y=fx在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=fx在x=b处有值fb；

　　如果函数y=fx在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=fx在x=b处有最小值fb；

　　第三章基本初等函数

　　一、指数函数

　　（一）指数与指数幂的运算

　　1．根式的概念：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中>1，且∈*．

　　负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作。

　　当是奇数时，，当是偶数时，

　　2．分数指数幂

　　正数的分数指数幂的意义，规定：

　　，

　　0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义

　　3．实数指数幂的运算性质

　　（1）•；

　　（2）；

　　（3）．

　　（二）指数函数及其性质

　　1、指数函数的概念：一般地，函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R．

　　注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．

　　2、指数函数的图象和性质

　　a>10

　　定义域R定义域R

　　值域y＞0值域y＞0

　　在R上单调递增在R上单调递减

　　非奇非偶函数非奇非偶函数

　　函数图象都过定点（0，1）函数图象都过定点（0，1）

　　注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：

　　（1）在[a，b]上，值域是或；

　　（2）若，则；取遍所有正数当且仅当；

　　（3）对于指数函数，总有；

　　二、对数函数

　　（一）对数

　　1．对数的概念：

　　一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作：（—底数，—真数，—对数式）

　　说明：○1注意底数的限制，且；

　　○2；

　　○3注意对数的书写格式．

　　两个重要对数：

　　○1常用对数：以10为底的对数；

　　○2自然对数：以无理数为底的对数的对数．

　　指数式与对数式的互化

　　幂值真数

　　＝N＝b

　　底数

　　指数对数

　　（二）对数的运算性质

　　如果，且，，，那么：

　　○1•＋；

　　○2－；

　　○3．

　　注意：换底公式：（，且；，且；）．

　　利用换底公式推导下面的结论：（1）；（2）．

　　（3）、重要的公式①、负数与零没有对数；②、，③、对数恒等式

　　（二）对数函数

　　1、对数函数的概念：函数，且叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．

　　注意：○1对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：，都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．

　　○2对数函数对底数的限制：，且．

　　2、对数函数的性质：

　　a>10

　　定义域x＞0定义域x＞0

　　值域为R值域为R

　　在R上递增在R上递减

　　函数图象都过定点（1，0）函数图象都过定点（1，0）

　　（三）幂函数

　　1、幂函数定义：一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数．

　　2、幂函数性质归纳．

　　（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义并且图象都过点（1，1）；

　　（2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；

　　（3）时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴．

　　第四章函数的应用

　　一、方程的根与函数的零点

　　1、函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。

　　2、函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。

　　即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．

　　3、函数零点的求法：

　　○1（代数法）求方程的实数根；

　　○2（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．

　　4、二次函数的零点：

　　二次函数．

　　（1）△＞０，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点．

　　（2）△＝０，方程有两相等实根，二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．

　　（3）△＜０，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点．

　　5.函数的模型

　　【二】

　　1.函数的奇偶性

　　1若fx是偶函数，那么fx=f-x;

　　2若fx是奇函数，0在其定义域内，则f0=0可用于求参数;

　　3判断函数奇偶性可用定义的等价形式：fx±f-x=0或fx≠0;

　　4若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性;

　　5奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性;偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性;

　　2.复合函数的有关问题

　　1复合函数定义域求法：若已知的定义域为[a，b],其复合函数f[gx]的定义域由不等式a≤gx≤b解出即可;若已知f[gx]的定义域为[a,b],求fx的定义域，相当于x∈[a,b]时，求gx的值域即fx的定义域;研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则。

　　2复合函数的单调性由“同增异减”判定;

　　3.函数图像或方程曲线的对称性

　　1证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心对称轴的对称点仍在图像上;

　　2证明图像C1与C2的对称性，即证明C1上任意点关于对称中心对称轴的对称点仍在C2上，反之亦然;

　　3曲线C1：fx,y=0,关于y=x+ay=-x+a的对称曲线C2的方程为fy-a,x+a=0或f-y+a,-x+a=0;

　　4曲线C1:fx,y=0关于点a,b的对称曲线C2方程为：f2a-x,2b-y=0;

　　5若函数y=fx对x∈R时，fa+x=fa-x恒成立，则y=fx图像关于直线x=a对称;

　　6函数y=fx-a与y=fb-x的图像关于直线x=对称;

　　4.函数的周期性

　　1y=fx对x∈R时，fx+a=fx-a或fx-2a=fxa>0恒成立,则y=fx是周期为2a的周期函数;

　　2若y=fx是偶函数，其图像又关于直线x=a对称，则fx是周期为2︱a︱的周期函数;

　　3若y=fx奇函数，其图像又关于直线x=a对称，则fx是周期为4︱a︱的周期函数;

　　4若y=fx关于点a,0,b,0对称，则fx是周期为2的周期函数;

　　5y=fx的图象关于直线x=a,x=ba≠b对称，则函数y=fx是周期为2的周期函数;

　　6y=fx对x∈R时，fx+a=-fx或fx+a=，则y=fx是周期为2的周期函数;

　　5.方程k=fx有解k∈DD为fx的值域;

　　6.a≥fx恒成立a≥[fx]max,;a≤fx恒成立a≤[fx]min;

　　7.1a>0,a≠1,b>0,n∈R+;2logaN=a>0,a≠1,b>0,b≠1;

　　3logab的符号由口诀“同正异负”记忆;4alogaN=Na>0,a≠1,N>0;

　　8.判断对应是否为映射时，抓住两点：1A中元素必须都有象且;2B中元素不一定都有原象，并且A中不同元素在B中可以有相同的象;

　　9.能熟练地用定义证明函数的单调性，求反函数，判断函数的奇偶性。

　　10.对于反函数，应掌握以下一些结论：1定义域上的单调函数必有反函数;2奇函数的反函数也是奇函数;3定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数;4周期函数不存在反函数;5互为反函数的两个函数具有相同的单调性;5y=fx与y=f-1x互为反函数，设fx的定义域为A，值域为B，则有f[f--1x]=**∈B,f--1[fx]=**∈A.

　　11.处理二次函数的问题勿忘数形结合;二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：一看开口方向;二看对称轴与所给区间的相对位置关系;

　　12.依据单调性，利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数的范围问题

　　13.恒成立问题的处理方法：1分离参数法;2转化为一元二次方程的根的分布列不等式组求解;

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